Espacio para la solución de la Tarea 3
Parte 1.
Se debe recordar que 
y que 
.
Ejercicio a.- Sea 
y 
se puede demostrar por propiedades de la convolucion que la convolucion de x(t) por la sumatoria de impulsos queda igual a 
.
La grafica de esa señal periodica queda:
Luego el periodo de esa señal es 
y su frecuencia fundamental 
. En relacion a sus coeficientes de la serie de Fourier:
y esto implica que 
FALTÓ Y ERA FÁCIL CALCULAR X[0]=0 QUE ERA EL PROMEDIO DE LA SEÑAL.
Finalmente su espectro queda:
Ejercicio b.-
Sea 
y 
, por propiedades de la convolucion: 
.
El grafico de esa señal periodica es:
Su período es 
y su frecuencia fundamental 
.
Sus coeficientes de la serie de Fourier: 
Finalmente su espectro:
Ejercicio c.-
Sea 
la señal periodica. La grafica de la señal es:
Su periodo es de 
y su frecuencia fundamental 
.
Desarrollando el seno y el coseno en su forma exponencial se llega a la expresion:
La expresion anterior representa la serie de Fourier de la señal en estudio. Sin embargo se puede observar en la serie, que para todos los K asociado a la sumatoria de la serie de Fourier solo para 
es que la serie no es cero.
Por otro lado, el espectro de magnitud y fase de la señal es:
Ejercicio d.-
Sea 
. La grafica de la señal queda:
Su periodo es de 
y su frecuencia fundamental es 
.
Desarrollando los cosenos en su forma exponencial se determinan los coeficientes de la serie de Fourier, quedando:
.
Se puede observar en la serie, que para todos los K asociado a la sumatoria de la serie de Fourier solo para los 
los terminos no son cero.
Por otro lado, el espectro de magnitud y fase:
Parte 2.
Se determino la serie trigonometrica de las señales 1a y 1b.
1a) Una vez hallados los coeficientes de la serie exponencial de Fourier en la parte 1, se procedio a desarrollar las exponenciales obtenidas expresadas en su forma trigonometrica, quedando la expresion:
; asi su serie trigonometrica queda: 
Por otro lado, en Matlab se realizo un programa que graficara la serie truncada de esta señal para k=3, 10 y 50. (Tomando desde k=1).
El codigo del programa fue:
n=input('introduzca el numero de sumandos= ')
t=-5:0.001:5;
y=zeros(1,length(t));
for k=1:n
y=y+(1/(2*pi*k))*(-i+i*cos(k*2*pi/3)+sin(k*2*pi/3)-i*cos(k*2*pi)-sin(2*k*pi)+i*cos(k*4*pi/3)+sin(4*k*pi/3))*exp(i*k*2*pi*t/3);
end
y=y;
plot(t,y)
grid.
Ahora, las graficas de cada K pedido (3,10 y 50):
K=3. K=10.
K=10.
Comparando las graficas con las obtenidas en la parte 1, se observa que a mayor K, la señal graficada tiende mas a representar a la señal original.
b) La serie trigonometrica de la senal 1b) queda: 
y asi 
El programa:
n=input('introduzca el numero de sumandos= ')
t=-5:0.001:5;
y=zeros(1,length(t));
for k=1:n
y=y(*);
end
y=y;
plot(t,y)
grid.
(*) La expresion de la serie trigonometrica de Fourier dada arriba.
Parte 3.
Simplificacion de expresiones.
I.- 
, transformando las exponenciales a su forma trigonometrica mediante la relacion de Euler 
, y sustituyendo los cosenos de cada angulo por sus respectivos valores se llego a la expresion:
, llevando esa expresion a su forma polar de numeros complejos queda finalmente 
.
II.- 
, realizando un procedimiento muy similar al hecho en la expresion anterior (I), se llego a la expresion:
, y llevando esa expresion a su forma polar queda finalmente 
.
Parte 4.
Solucion:
En esta parte lo primero que se observa es que en la señal 
integrada en un periodo no es cero, por ende la componente DC de esta serie existe, y esto nos lleva a concluir que su espectro es el 
(x[k=0]=0.5). Por otro lado, se deduce que el espectro 
le corresponde a la señal 
, por que la s frecuencias (
) son multiplos de 
y justamente ese es el período.
k=1 => w= 3.14 rad/s
k=3 => w= 9.42 rad/s
k=4 => w= 12.56 rad/s
Se puede hacer el mismo analisis con la señal 
y su espectro 
, la frecuencia fundamental (
) es 
, el espectro tiene frecuencias multiplos de ella: , 
.
Parte 5.
La serie de Fourier de una señal es: 
Sus coeficientes se calculan con las siguientes integrales:
, esta me da el valor dc de la señal.
, estos coeficientes no cambian si se altera el valor dc de la señal.
Solucion de señal: 
El periodo y la frecuencia de esta señal es 
y 
.
Coeficientes:
, calculando y simplificando se obtiene:
, por lo tanto,
Su serie de Fourier es 
, con k distinto de cero.
Solucion de señal:
A partir de la señal anterior, se puede construir y hallar la serie de Fourier para esta señal. Por propiedades de desplazamiento tenemos:
, y ademas 
.
El periodo y la frecuencia de esta señal es y
Coeficientes:
, por propiedades
Su serie de fourier es 
, con k distinto de cero.
Solucion de señal:
El periodo y frecuencia de esta señal es 
y 
, y ademas se puede escribir como 
.
, por propiedades,
Su serie de fourier es 
, con k distinto de cero.
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