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Tarea 4 Correccion

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LAS COREECIONES ESTÁRÁN EN ROJO EN CASO QUE HALLAN

PREGUNTA 1

1.a) Al utilizar sumas de Riemman, la integral se puede escribir como la suma del área de varios intervalos que van teniendo al infinito; sin embargo a nivel practico es necesario utilizar un numero de intervalos finitos para poder describirla o graficarla a través de un programa.

Las señales discretas las obtendremos a través del muestreo de la señal continua (en donde los muestreos de la señal que se tomaran serán uniformes, ts). El periodo N es el número más pequeño de muestras que se repite. En esta señal discreta (por muestras) se grafican las líneas contra el índice n (número de muestra de intervalo). Como las señales analógicas se grafican en función del tiempo y las señales discretas se grafican en función del número de muestra entonces evaluaremos la función en “n.ts” que es el tiempo que corresponde a ese intervalo de muestra. La aproximación del área de la señal analógica subyacente se obtendrá a partir de las muestras y a medida que se utilicen intervalos de tiempo pequeño, obtendremos un resultado mucho más exacto.

DEMOSTRACION:

Sabemos que: Formula:

. Por otra parte: Formula:

Entonces:

Con lo cual queda demostrado.

1.c)Para hallar los coeficientes de la Serie de Fourier se debe recordar que: Formula:

, y en este caso:

Se definieron arbitrariamente N=20; X[0]=0 (valor central); ts=0,05; n va desde 0 a 20.

Los coeficientes de la Serie de Fourier pedidos por aproximacion son:

X[k]1 = 0,008755857

X[k]2 = 0,034436863

X[k]3 = 0,075314791

X[k]4 = 0,128615171

X[k]5 = 0,190679754

X[k]0 = 1 EXP-17 ~ 0

1.d) Al ser una funcion impar solo posee terminos con senos (No hay terminos DC ni con cosenos): Formula:

La serie Exponencial de Fourier es:

1.e) Las graficas de la aproximacion y de la señal original estan en un formato que no se puede bajar a la pagina web. Sin embargo con gusto se las podremos mandar a sus correos electronicos. Ponganse en contacto con nosotros y se las haremos llegar lo mas pronto posible!!

Si comparamos ambas graficas, podemos observar que usando Sumas de Riemman se obtuvo una muy buena aproximacion de la señal.

PREGUNTA 2

Debemos recordar que para hallar la Transformada de Fourier se aplica: Formula:

Asimismo, debemos recordar algunas propiedades: LINEALIDAD, DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO y CONVOLUCION, principalmente.

2.a)

Para graficar se uso el programa:

T=0.01;

>> t=[0:T:.5];

>> y=sin(2*pi*t);

>> plot(t,y);

La grafica de esta señal es:

Luego de aplicar la integral queda:

, simplificandola queda: Formula

Se usó el siguiente programa en MATLAB para graficar la función:

>> syms w;

y=(1/2)*((exp(i*(pi-(w/2)))-1)/(w-(2*pi))+(1-(exp((-i)*(pi+(w/2)))))/((2*pi)+w));

ezplot(abs(y));

El grafico de la magnitud de la Transformada de Fourier es:

Una grafica de mayor dominio:

2.b)

Para graficar la señal se usó el programa de MATLAB:

>> syms t;

y=sin(2*pi*(t-3))*HEAVISIDE(t-3)*HEAVISIDE(3.5-t);

f=sin(2*pi*(t+3))*HEAVISIDE(t+3)*HEAVISIDE(-2.5-t);

ezplot(y+f);

La gráfica de la señal es:

Aplicando la integral, nos queda:

Se uso el siguiente programa de MATLAB:

>> syms w;

y=(1/(2*(w-2*pi)))*(exp(j*(pi-(3.5*w)))+exp(j*(pi+(2.5*w)))-exp(j*3*w)-exp(-j*(3*w)))+(1/(2*(w+2*pi)))*(exp(j*3*w)+exp(-j*3*w)-exp(-j*(pi+(3.5*w)))-exp(-j*(pi-(2.5*w))));

>> ezplot(abs(y));

Al graficar en MATLAB se obtuvo: