PREGUNTA 1

 

1.a) Al utilizar sumas de Riemman, la integral se puede escribir como la suma del área de varios intervalos que van teniendo al infinito; sin embargo a nivel practico es necesario utilizar un numero de intervalos finitos para poder describirla o graficarla a través de un programa.

Las señales discretas las obtendremos a través del muestreo de la señal continua (en donde los muestreos de la señal que se tomaran serán uniformes, ts). El periodo N es el número más pequeño de muestras que se repite. En esta señal discreta (por muestras) se grafican las líneas contra el índice n (número de muestra de intervalo). Como las señales  analógicas se grafican en función del tiempo y las señales discretas se grafican en función del número de muestra entonces evaluaremos la función en “n.ts” que es el tiempo que corresponde a ese intervalo de muestra. La aproximación del área de la señal analógica subyacente se obtendrá a partir de las muestras y a medida que se utilicen intervalos de tiempo pequeño, obtendremos un resultado mucho más exacto.

 

DEMOSTRACION:

 

Sabemos que:  y . Por otra parte:

 

Entonces:

 

 =>  =>

 

=>

 

Con lo cual queda demostrado.

1.c)Para hallar los coeficientes de la Serie de Fourier se debe recordar que:, y en este caso:

 

Se definieron arbitrariamente N=20;    X[0]=0 (valor central);     ts=0,05;      n va desde 0 a 20. COMO CALCULARON LOS VALORES? CUÁL FUE EL SISTEMA DE ECUACIONES?

 

 

Los coeficientes de la Serie de Fourier pedidos por aproximacion son:

 

X[k]1 = 0,008755857

X[k]2 = 0,034436863

X[k]3 = 0,075314791

X[k]4 = 0,128615171

X[k]5 = 0,190679754

X[k]0 = 1 EXP-17 ~ 0

 

1.d) Al ser una funcion impar solo posee terminos con senos (No hay terminos DC ni con cosenos):

 

 

 La serie Exponencial de Fourier es:

 

 

 

1.e) Las graficas de la aproximacion y de la señal original estan en un formato que no se puede bajar a la pagina web. Sin embargo con gusto se las podremos mandar a sus correos electronicos. Ponganse en contacto con nosotros y se las haremos llegar lo mas pronto posible!!

 

Si comparamos ambas graficas, podemos observar que usando Sumas de Riemman se obtuvo una muy buena aproximacion de la señal.

 FAVOR ENVIAR LA GRÁFICA AL PROFESOR PARA QUE LA CONVIERTA Y COLOQUE EN LA WEB !!

 

PREGUNTA 2

 

Debemos recordar que para hallar la Transformada de Fourier se aplica:  y

 

Asimismo, debemos recordar algunas propiedades: LINEALIDAD, DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO y CONVOLUCION, principalmente.

 

     2.a)

Para graficar se uso el programa:

T=0.01;

>> t=[0:T:.5];

>> y=sin(2*pi*t);

>> plot(t,y);

La grafica de esta señal es:

Luego de aplicar la integral queda:

Se usó el siguiente programa en MATLAB para graficar la función:

        >>  syms w;

        y=(1/2)*((exp(i*(pi-(w/2)))-1)/(w-(2*pi))+(1-(exp((-i)*(pi+(w/2)))))/((2*pi)+w));

        ezplot(abs(y));

El grafico de la magnitud de la Transformada de Fourier es:

     2.b)

Para graficar la señal se usó el programa de MATLAB:

        >>  syms t;

        y=sin(2*pi*(t-3))*HEAVISIDE(t-3)*HEAVISIDE(3.5-t);

        f=sin(2*pi*(t+3))*HEAVISIDE(t+3)*HEAVISIDE(-2.5-t);

        ezplot(y+f);

La gráfica de la señal es:

Aplicando la integral, nos queda:

Se uso el siguiente programa de MATLAB:

>> syms w;

     2.c)  

La grafica de esta señal es:

Aplicando la integral, nos queda:

     2.d)

La Convolucion de las dos señales es:

La grafica de esta funcion es:

Luego de resolver la integral, la Transformada de Fourier es:

 Como es una señal periodica, la grafica de la transformada son dos impulsos, en  y , de altura -1/8

     2.e)

Esta es una señal periodica con periodo T=4, lo cual significa que se representa como una repeticion de la grafica de X1 cada 4.

Luego de aplicar la integral para hallar la Transformada de Fourier, se obtuvo:

En este caso como la señal es periodica, la grafica de la transformada es un tren de impulsos.

 PREGUNTA 3

3.a)

La respuesta al impulso es:

NO, ERA LA TRANSFORMADA INVERSA DE (VOY A ESCRIBIR s=jw) 1/(s+1)/(s^2+2+5)

3.b) La Transformada es:

evaluado entre

Queda:

3.c)Aplicando la propiedad de la CONVOLUCION  se obtiene que la respuesta es:

PREGUNTA 4

4.a)La respuesta al tren de impulsos es:

NO ES CORRECTO

4.b)La respuesta al impulso es:

NO ES CORRECTO