Solución de la tarea 8:

 

1.

 

1.a.

Para el primer circuito se busca  la función de  transferencia

. 

Igualando las caídas de potencial, se tiene que la entrada y la salida están en la relación:

 

 

Dividiendo por , suponiendo que el voltaje en el capacitor y la corriente en el inductor son inicialmente cero, y aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros, se tiene la relación de las transformadas de Laplace de la entrada  y la salida :

 

 

, de donde:

 

, sustituyendo los valores de las constantes, finalmente se tiene:

 

(1).

 

 

 

Cálculo del diagrama de Bode:

Dividiendo la relación (1) por 1/2, y transformando del dominio de al dominio de se tiene

 

(2)

 

Aplicando el módulo y 20log a ambos miembros, se tiene  para el diagrama de magnitud:

 

(3)

 

De (2), se tiene directamente para el diagrama de fase:

 

 

(4)

 

 

Donde denota la fase de

 

En la siguiente figura se muestra los diagramas de Bode de magnitud (izquierda) y fase (derecha) , (líneas negras contínua), y las aproximaciones asintóticas (líneas negras punteadas).

 

 

 

Fig. 1. Diagramas de Bode para

 

 

 

 

 

 

Para el segundo circuito se busca  la función de  transferencia .

 

Igualando las caídas de potencial de la malla de la izquierda y las de la derecha, se tienen las relaciones:

 

(5)

 

(6)

 

Sumando (5) y (6), se tiene que la entrada y la salida están en la relación:

 

 

Suponiendo que la corriente en el inductor es inicialmente cero, y aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros, se tiene la relación de las transformadas de Laplace de la entrada  y la salida :

 

, de donde finalmente se tiene:

 

 

 

(7).

 

 

 

Cálculo del diagrama de Bode:

Dividiendo la relación (7) por 100, y transformando del dominio de al dominio de se tiene

 

(8)

 

Aplicando el módulo y 20log a ambos miembros, se tiene  para el diagrama de magnitud:

 

(9)

 

De (8), se tiene directamente para el diagrama de fase:

 

(10)

 

En la siguiente figura se muestra los diagramas de Bode de magnitud (izquierda) y fase (derecha) , (líneas negras contínua), y las aproximaciones asintóticas (líneas negras punteadas).

 

 

 Fig. 2. Diagramas de Bode para

 

 

 

1.b.

 

Sea la entrada la función diente de sierra:

 

( I )

 

Cuya gráfica es:

 

 

 

Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación ( I ), por propiedades de la transformada, se obtiene la transformada de Laplace de v(t):

 

 

Luego, si v(t) es aplicada al primer circuito:

 

Como v(t) empieza en t=0+, la corriente en el inductor y el voltaje del capacitor son cero inicialmente, se tiene de (1) que la transformada de Laplace de la salida vc(t)  queda definida por:

 

 

Aplicando la transformada inversa de Laplace a los miembros de los extremos, se tiene:

 

 

 

Luego, si v(t) es aplicada al segundo circuito:

 

Como v(t) empieza en t=0+, la corriente en el inductor es cero inicialmente, se tiene de (1) que la transformada de Laplace de la salida i2(t)  queda definida por:

 

 

 

Aplicando la transformada inversa de Laplace a los miembros de los extremos, se tiene:

 

 

 

 

2.

 

2.a. Sea , no existen ceros, se tienen polos en y , el complejo conjugado tiene multiplicidad 2. El sistema es inestable ya que los polos complejos conjugados se ubican solo sobre el eje complejo, del plano complejo.

En la siguiente figura se muestran los diagramas de bode de magnitud y fase para una función , es decir H1(S) con la diferencia de multiplicidad en 1 del polo complejo conjugado; esta diferencia implica una modificación en la pendiente mostrada en el diagrama de bode de fase de la figura de 40dB/década menos en la pendiente, y en -180° para la fase. A continuación se muestra el diagramas de Bode de magnitud (izquierda) y fase (derecha)  (línea contínua) , y  aproximación asintótica (línea punteada): frecuencia de atenuación o cruce de ganancia: [1/seg.]

 

fig. 3 . diagrama de bode para 2.a.

 

 

 

2.b. Sea

 

La fuención cuenta con

Ceros: en -5

Polos: en -2 con multiplicidad 3

Estabilidad: el sistema es estable ya que los polos se ublican en el semiplano izquierdo del plano complejo.

Diagramas de Bode de magnitud (izquierda) y fase (derecha)  (línea contínua) , y  aproximación asintótica (línea punteada): frecuencia de atenuación o cruce de ganancia: [1/seg.]

 

 

 

 

 

 

 fig. 4 . diagrama de bode para 2.b.

 

 

2.c. Sea

 

La fuención cuenta con

Ceros: ninguno

Polos: en el origen y en 

Estabilidad: el sistema es estable ya que tiene un polo en el centro del plano complejo.

Diagramas de Bode de magnitud (izquierda) y fase (derecha)  (línea contínua) , y  aproximación asintótica (línea punteada): frecuencia de atenuación o cruce de ganancia: [1/seg.]

 

 fig. 5 . diagrama de bode para 2.c.

 

 

2.d. Sea

 

La fuención cuenta con

Ceros: en -3

Polos: en el origen y en  con multiplicidad 2

Estabilidad: el sistema es estable ya que tiene un polo en el centro del plano complejo.

Diagramas de Bode de magnitud (izquierda) y fase (derecha)  (línea contínua) , y  aproximación asintótica (línea punteada): frecuencia de atenuación o cruce de ganancia: [1/seg.]

 

 fig. 6 . diagrama de bode para 2.d.

 

 

2.e. Al  aplicar  un escalón  cuya transformada de Laplace es , al sistema definido por la función de transferencia , suponiendo condiciones iniciales nulas, se tiene que la transformada de Laplace de la respuesta , queda definida por:

 

, aplicando la transformada inversa de Laplace a ambos miembros, se tiene:

 

Por propiedades de la convolución como asociatividad y conmutatividad,  se calculan las convoluciones siguientes y se tiene:

 

,

 

(resolviendo la integral con funciones trigonométricas y cambios de variable se obtiene)

 

 

 

 

 

Finalmente:

 

 

 

 

3. i) Sistema (a) en esquema realimentado

Usamos la formula de realimentacion siguiente:  . Sustituyendo  en la ecuacion de realimentacion obtenemos:

 

El arreglo de Hurwitz queda de la siguiente manera:

 

 

	1	6	9
	1	6	9+k
	E	-k
	6+k/E	9+k
s	-k  -  (9+k)/(6+k/E)
	9+k

 

Sistema (c) en esquema realimentado

 

  

Sustituyendo esta ecuacion en la formula de realimentacion obtenemos:

El arreglo de Hurwitz queda de la siguiente manera:

	1	5
	1	k
s	-k+5
	k

Para que el sistema sea estable K debe pertenecer al intervalo (0,5]

 

 

ii) Caso (b) con K=10

 

 

Aplicando la formula de realimentacion tenemos:

Haciendo k=10 y operando

 

Haciendo s=jw y desarrollando obtenemos finalmente

El modulo de H(jw9 es:

 

 donde beta es el coeficiente de acoplamiento y es igual a 0,24

 

A continuación se muestran los diagramas de bode de magnitud y fase de la función en cuestión:

 

 

 

Caso (c) con k=2

 

Como vimos si aplicamos la formula de realimentacion el resultado es:

 

Sustituyendo en la ecuacion anterior K=2 y operando

 

 

 Haciendo s=jw y desarrollando obtenemos :

 

El modulo de H(jw) es igual a:

 donde beta es igual a 0,13

 

 

A continuación se muestran los diagramas de bode de magnitud y fase de la función en cuestión:

 

 

 

 

iii) Respuesta al escalon del sistema (a) en lazo abierto

 

Y(s) = X(s)Y(s)

 

Como la tranformada de Laplace de u(t) es 1/s

 

Y(s)=1/sH(s)

 

Aplicando el metodo de las fracciones simples:

 

Buscamos las incognitas y la ecuacion resulta en:

Aplicando la trasnformada inversa de Laplace obtenemos Y(t)